I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Sơ đồ hóa kiến thức
Dạng 1: Chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn
Ví dụ: Cho tứ giác 
có góc . Chứng minh bốn điểm 
cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của 
.
Vì tam giác vuông tại nên đường trung tuyến hay
Vì tam giác vuông tại nên đường trung tuyến hay
Suy ra
Vậy bốn điểm thuộc cùng đường tròn tâm bán kính là .
Ví dụ: Cho tứ giác lồi có các đường trung trực của các đoạn thẳng đồng quy tại một điểm. Chứng minh rằng các đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Gọi là giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng .
Vì nằm trên đường trung trực của nên
Tương tự ta có:
Khi đó
Vậy bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Ví dụ: Cho hình thang cân . Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là trung điểm của .
Do là hình thang cân với hai đáy nên là đường trung trực của .
Gọi là trung điểm của . Qua dựng đường trung trực của cắt tại . Ta cần chứng minh
Thật vậy vì nằm trên đường trung trực của nên
Mà cũng là trung trực của nên
Hơn nữa nằm trên đường trung trực của nên . Từ đó suy ra .
Vậy bốn điểm cùng thuộc một đường tròn bán kính .
Dạng 2: Xác định vị trí của một điểm với một đường tròn cho trước
Ví dụ: Trên mặt phẳng tọa độ , hãy xác định vị trí của các điểm đối với đường tròn .
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
là cạnh huyền trong tam giác vuông cân cạnh bằng nên
Suy ra nằm bên trong .
là cạnh huyền trong tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng và nên
Suy ra nằm bên ngoài .
là cạnh huyền trong tam giác vuông cân bằng nên
Suy ra nằm bên ngoài .
Ví dụ: Cho tam giác đều cạnh bằng , kẻ các đường cao . Gọi là trung điểm cạnh .
a) Chứng minh cùng thuộc một đường tròn tâm .
b) Gọi là giao điểm của . Chứng minh điểm nằm trong, còn điểm nằm ngoài đối với đường tròn đường kính .
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) Vì tam giác vuông tại có trung tuyến ứng với cạnh huyền nên .
Vì tam giác vuông tại có trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
Suy ra
Vậy bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm bán kính .
b) Tam giác đều có là trực tâm đồng thời là trọng tâm tam giác và theo thứ tự là trung điểm của
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác , ta có:
Suy ra nằm bên ngoài đường tròn
Vì là đường trung tuyến và là trọng tâm của tam giác nên
Vậy nằm trong đường tròn .
Dạng 3: Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác
Ví dụ: Cho tam giác đều có cạnh bằng . Tính bán kính của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác .
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là trung điểm của
Dựng các đường trung trực của các cạnh , các đường trung trực này đồng quy tại , suy ra là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác . Bán kính là
Vì tam giác là tam giác đều nên các đường trung trực này cũng là đường trung tuyến của tam giác
Suy ra cũng là trọng tâm của tam giác .
Trong tam giác vuông tại ta có:
Lại có
Vậy bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác là .
Ví dụ: Cho hình chữ nhật có . Chứng minh rằng các điểm thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Gọi là giao điểm của . Khi đó là trung điểm của
Mà là hình chữ nhật nên
Do đó hay bốn điểm thuộc một đường tròn , bán kính
Tam giác vuông tại nên
Vậy bốn điểm thuộc một đường tròn , bán kính .
Đường tròn qua bốn đỉnh của hình chữ nhật có tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính của nó bằng một nửa độ dài đường chéo của hình chữ nhật đó.
II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn có tâm , bán kính và điểm . Xác định vị trí tương đối của điểm đối với đường tròn đã cho.
Bài 2: Trên mặt phẳng tọa độ , cho các điểm . Xác định vị trí tương đối của điểm đối với đường tròn tâm và bán kính .
Bài 3: Cho tam giác đều cạnh bằng . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Bài 4: Cho tứ giác có . Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn và tính bán kính đường tròn đó.
Bài 5: Cho tứ giác có . Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
Bài 6: Cho tam giác cân tại ; . Kẻ đường cao . Tính bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác , biết rằng ?
Bài 7: Cho tam giác cân tại có ba đỉnh nằm trên đường tròn . Đường cao cắt tại . Tính độ dài đường cao và bán kính đường tròn , biết rằng .
Bài 8: Cho hình thang cân với có . Chứng minh rằng cùng thuộc đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.
Bài 9: Cho tam giác vuông tại , đường cao . Từ điểm bất kì thuộc cạnh kẻ . Chứng minh năm điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 10: Cho tam giác có là ba đường cao và là trực tâm.
a) Chứng minh cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.
b) Chứng minh cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.
